Produtos Notáveis

Na matemática é muito comum encontrarmos frações com expressões algébricas tanto no numerador quanto no denominador. Muitas vezes não fica claro para nós a melhor forma de reduzir aquela razão. Os Produtos Notáveis são ferramentas que ajudam nesse sentido.

Eles servem para transformar uma expressão de vários termos em um produto, ou potência, como é um caso do trinômio quadrado.

Trinômio Quadrado Perfeito ou quadrado da soma

Quando temos uma soma elevada ao quadrado, pode parecer intuitivo escrever:

(a+b)²=a²+b², o que está ERRADO

A forma correta é:

(a+b)²=a²+2ab+b²

O mesmo vale para a diferença:

(a-b)²=a²-2ab+b²

Vejamos alguns exemplos:

• (3+9)²=3²+2*3*9+9²=144=12²
• (x+2)²=(x+2)*(x+2)=x²+2x+2x+2²=x²+4x+4

Exemplos

1. Fatores as seguintes expressões:
   1. x²+2x+1
   2. 4x²+36x+81
   3. 5x²+30y+45y²
2. Simplifique a seguinte fração:

x²-2x+4x-2

Cubo da soma e da diferença

Similar ao quadrado da soma, é preciso ter cuidado ao transformar o cubo:

(a+b)³a³+b³

O correto seria, na realidade, a seguinte expressão:

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

Para a subtração, no entanto, esteja atento aos sinais:

(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³

Note que o sinal de menos vai aparecer antes dos termos de ordem par, ou seja, 2º e do 4º termo.

Vejamos alguns exemplos:

• (2+3)³=2³+3*2²*3+3*2*3²+3³=125=5³
• (x-1)³=(x-1)*(x-1)*(x-1)=

=x³-x²-x²-x²-(-x)-(-x)-(-x)-(-(-1))=

=x³-3x²+3x-1

Exemplos

1. Fatores as seguintes expressões:
   1. x³+6x²+12x+8
   2. 27x²+81x²+81x+27
   3. 2x³+12yx²+24y²x+16y³
2. Simplifique a fração e, em seguida, encontre o valor do resultado caso x=3:

x³-9x²+27x-27x²-6x+9

Diferença de quadrados

Dizemos que a diferença entre dois quadrados é igual ao produto da soma pela diferença das bases:

a²-b²=(a+b)*(a-b)

Vejamos alguns exemplos:

• 81 – 49 = (9+7)(9-7)=16*2=32
• (x+1)(x-1)=x²-x+x-1²=x²-1

Exemplos

1. Fatore ao máximo as seguintes expressões:
   1. 4x²-81
   2. x4-16
   3. x4y²-y4

Soma e diferença de cubos

Para os cubos, a fatoração pode ser um pouco mais extensa:

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

Para a soma, o sinal de menos muda de posição:

a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

Vejamos alguns exemplos:

• 27 – 8 = (3-2)(3²+3*2+2²)=9+6+4=19
• (x-1)(x²+x+1)=x³+x²+x-x²-x-1=x³-1
• (x+1)(x²-x+1)=x³-x²+x+x²-x+1=x³+1

Exemplos

1. Fatore ao máximo as seguintes expressões:
   1. 27-x³
   2. x6-729
   3. x³y6-1
2. Simplifique a fração:

x³-1x²-1